最小的一位数
经常接到老师们的电话，讨论一些小问题。现在把手上有的一些问题陆续放到这，供大家参考。也特别盼望您能提出一些新的问题供我们讨论。您可以通过"写留言"中提出问题。感谢您的支持！001最小一位数是0还是1？讨论这是老师们经常讨论的问题。讨论过程中形成的一些观点还很有意思。比如:观点一：没有把0划归为自然数时，我们都说最小的一位数是1，现在0被规定为自然数了，最小的一位数就应该是0.观点二：0肯定不是一位数，如果0是一位数，那00不就是两位数了？老实说，学生讨论这个问题，对提高其数学素养没有太多帮助。教师讨论这个问题，虽然对提高教学水平没有太多帮助，但却有利于我们进一步认识数学及其讨论问题的方式。我曾参过一次讨论。以下是这段讨论:教师A: 请问：最小的一位数是1还是0？众老师均说是1，为什么呢？张老师：0肯定比1小，若最小的一位数不是0而是1，肯定就是因为0不是一位数。基本概念要清楚，要判断最小的一位数是几，“位数”的概念就是原则重要的。哪位老师给“位数”下一个定义？比如，我约定，记一个自然数，用了几个字符，就称这个数为几位数。可不可以？如果可以，记0这个自然数，只用了一个字符，那它就是一位数了。或者这个定义不行，可以有另外的定义？教师B: 一个自然数数位的个数,叫做位数.含有一个数位的数是一位数,含有两个数位的数是两位数…….最大的一位数是9,最小的一位数是1，最大的两位数是99,最小的两位数是10.张老师： 位数是自然数位的个数。这意味着两件事：1、数位只在自然数范围内讨论；2、位数是用数位定义的。我们不得不追问问：数位是什么？教师B: 不同计数单位，按照一定顺序排列，它们所占位置叫做数位．在整数中的数位是从右往左，逐渐变大：第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，第五位是万位，第六位是十万位，第七位是百万位，第八位是千万位，以此类推．同一个数字，由于所在数位不同，计数单位不同，所表示数值也就不同。张老师： 为了说明数位，又来了个“计数单位”，它又是什么呢？教师B: 我们常用的是十进制计数法，计数单位是：一（个）、十、百、千、万、十万……，每相邻的两个计数单位之间的进率都是十．像 ： 一（个）、十、百、千、万、十万……等，叫做数的计数单位。张老师： 非常好，终于讲到了进制！也就是说，位数与数位相关，数位与计数单位有关，计数单位与数的进制有关。于是，几位数，就是一个数在某种进制下的形式特征。比如通常一个人的右手有几个手指啊。若用十进制，记为5，铁定是一位数。若用二进制，则记作101，变成了三位数。于是，我们可以再回得我们最初的问题，最小的一位数是几？我们通常是问：在十进制下，最小的一位数是几。 说这些，是想让大家明白，数学问题是在一定条件下讨论的，一个数学问题的答案，只是在一定的条件下才是确定的。 我们来考察十进制记法，十进位值制记数法就是以10为基（base）的位值制记数法。现在，我们用通用的阿拉伯数码0、1、2、3、4、5、6、7、8、9来表示前几个自然数。一个大的自然数，比如“四千五百七十八”可以表法为：的形式，在十进位制记数法中，这个数就用“4578”表示。 一般的，就整数而言，十进位值制即通过“逢十进一”，把一个正整数从右到左分成个位、十位、百位、千位等，每个数位上的计数单位分别为一、十、百、千……，表示一个数的通用方式为：其中，这种形式的N可简记为，若对每个数位都指定了具体的数，则上述记号中的横线省略不写。规定最高位不能为0是为了保证这种表示方式的唯一性。显然，如果最高位可以是0，25就可以写成“025”或“0025”，数的表示方式就不唯一了。在这种表示法之下，我们也称N为k+1位数。这带来一个问题：若严格按计数法的“最高位不能为0”的规定，则没办法记零这个数。于是，对0又网开一面——0就这么记吧。数学上也经常这样做。这个时候就有一个问题了，几位数是由进制下的记数法规定的，而0是这个记数法的“化外之民”，根本不吃这一套。于是，按正常程序，根本没法确定0它是几位数。这时数学上经常会单独规定，这种规定看起来是自由的，但也要有其合理性，不能随意。比如，我们不妨规定0是一位数，但不好规定0是五位数。也许最小的一个数是几这件事，不是很重要，因此，据我所知，没人为这件事操心（除了我们小学数学老师），也就没人做这个规定了。其实，若规定0是一位数，还会坏一些好事：比如，当不规定0是一位数时，在十进制下，一位数：9个二位数：90个三位数：900个四位数：9000个……多漂亮的结果。但要规定0的一位数，就破坏了。要是可以由我来规定，我也坚决不规定0是一位数。再一次建议大家，要学会思考问题，还要学会作价值判断：讨论什么问题更有价值？如何讨论更有价值？ math_thinking 长按或扫描左边二维码；在微信中搜索上面的微信号关注我们，获得更多…