等腰三角形边长公式
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双动点等腰三角形的存在性问题

–解析2020年铁西区一模第25题

作者: 刘娜校对:秦铎运

等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点及难点.探究此类问题需将情况考虑全面，如若题目中没有指定哪条边是腰或底边，则需分类讨论.解法一般分三个步骤：一是寻找分类标准，二是列方程，三是解方程并检验合理性.2020年铁西一模第25题为二次函数的综合应用，涉及到待定系数法，勾股定理，两点间距离公式，三角形相似，三角函数，等腰三角形的性质，方程思想，分类讨论思想等知识.本题提供了二次函数背景下双动点等腰三角形存在性问题的解题通法，运算量虽然较大，但是能够解决所有这类等腰三角形的存在性问题.下面我们一起来看这道题的解析.

原题重现

破解前提

（1）此问要求学生会求直线与坐标轴的交点坐标，会用待定系数法求二次函数表达式.考生此问不得分可能有以下原因：①知道做题方法，但是计算出现错误.②代入点的坐标时将横坐标和纵坐标代反，或将横坐标代到字母a的位置上，却将x留下来.

通过读题我们发现第一问难度不大，应是所有考生都得到分数的题目，学生完成此问要具备扎实的基础知识.此问最易错的地方是代入性错误和计算错误，所以在代入和计算时要小心谨慎，本题直接将两点坐标代入解二元一次方程组即可.教师在备考中应让学生熟练掌握求二次函数表达式的三种方法：一般式，顶点式，两根式（交点式）.教学中让学生能够根据具体情况选择适合的方法解决问题.这里要提示学生无论选择何种方法求表达式，最终结果都要转化成一般式.

（2）① 此问是双动点条件下的等腰三角形存在性问题.本题降低难度，规定是以AP为底边.这类题的解法通则是：

1）当所给条件中没有说明哪条边是等腰三角形的底、哪条是腰时，要对其进行分类讨论，假设某两条边相等时，按三种情况进行分类讨论；

2）设未知量求边长，在每种情况下，直接或间接设出所求点的坐标，并用所设点坐标表示出假设相等的两条边的长或第三边的长；

3）计算求解，根据等腰三角形的性质或利用勾股定理或相似三角形的性质或三角函数比例关系列等量关系式，根据等量关系式求解即可.

（3）②此问要求学生会用割补法（铅垂高、水平宽）或者公式法表示△ACQ的面积，再用公式法表示出△APQ的面积，本题计算量很大，对考生解一元二次方程的能力要求较高.